极大似然估计的朴素理解

最大似然法,英文名称是Maximum Likelihood Method，在统计中应用很广。这个方法的思想最早由高斯提出来，后来由菲舍加以推广并命名。

最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持。

在很久以前的一个下午，自己在图书馆看书，书中讲到了同一独立分布（i.i.d., identical and independent distribution），与概率相关。当时已经听说最大似然法很长时间了，最大似然法在不同场合应用的结论看过不少，但自己还没有真正地学习和应用过。突然想到了上面的例子（类似的例子在自己以后的阅读很常见，当时没有意识到自己到底以前看过类似的例子没有），决定自己动手算一算。

我们假设罐中白球的比例是$p$，那么黑球的比例就是$1-p$。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是$P(Data | M)$，这里$Data$是所有的数据，$M$是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为$p$。如果第一抽样的结果记为$x_1$，第二抽样的结果记为$x_2$，那么$Data=(x_1,x_2,:\dots:,x_{100})$。这样，

$P(Data | M)$

= $P(x_1,x_2,:\dots:,x_{100}|M)$

= $P(x_1|M)P(x_2|M)…P(x_{100}|M)$

= $p^{70}(1-p)^{30}$

那么$p$在取什么值的时候，$P(Data |M)$的值最大呢？将$p^{70}(1-p)^{30}$对$p$求导，并其等于零。

$70p^{69}(1-p)^{30}-p^{70}*30(1-p)^{29}=0。$

解方程可以得到$p=0.7$。

参考文献

学习之恍然大悟时刻：最大似然法

http://www.zhizhihu.com/html/y2010/1520.html